BXU Logo

Buxoro Xalqaro
Universiteti

9-tom, 1-son, b. 169–179, Nashr: 2026-09-13

SONLI QATORLARNI O‘QITISHDA YAQINLASHUV ALOMATLARINI TANLASH VA QARSHI MISOLLARDAN FOYDALANISH METODIKASI

METHODOLOGY FOR SELECTING CONVERGENCE TESTS AND USING COUNTEREXAMPLES IN TEACHING NUMERICAL SERIES

METHODOLOGY FOR SELECTING CONVERGENCE TESTS AND USING COUNTEREXAMPLES IN TEACHING NUMERICAL SERIES

  • Ismatova Kamola Otabek qizi — Osiyo xalqaro universiteti “Aniq fanlar va raqamli texnologiyalar” kafedrasi o‘qituvchisi

To'liq matn (PDF)

Annotatsiya

Maqolada oliy ta’limda sonli qatorlarning yaqinlashuvini o‘rganish va o‘qitish metodikasini takomillashtirish masalasi ko‘rib chiqiladi. Taklif etilayotgan yondashuvda yaqinlashuv alomatlarini tayyor algoritm sifatida ketma-ket qo‘llash emas, balki qator umumiy hadining matematik tuzilishini tahlil qilish asosida mos tekshirish usulini tanlash ustuvor hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, talabalarda ko‘p uchraydigan metodik xatolar tizimlashtirilib, ularning uchta asosiy ko‘rinishi ajratib ko‘rsatiladi. Birinchisi, qator umumiy hadining nolga intilishini yaqinlashuv uchun yetarli shart sifatida noto‘g‘ri talqin qilish; ikkinchisi, qo‘llangan alomat chegaraviy yoki noaniq natija berganda qatorning uzoqlashishi haqida asossiz xulosa chiqarish; uchinchisi esa taqqoslash usulida tengsizlik va xulosa chiqarish yo‘nalishlarini noto‘g‘ri qo‘llash bilan bog‘liq. Mazkur holatlarning matematik mohiyatini ochib berishda garmonik va -qatorlar, ratsional hamda logarifmik hadlardan tashkil topgan qatorlar, shuningdek, ishorasi almashinuvchi qatorlarga asoslangan qarshi misollardan foydalanish metodikasi taklif qilinadi. Qator umumiy hadining algebraik va funksional xususiyatlari bilan unga mos yaqinlashuv alomati o‘rtasidagi bog‘liqlik tizimlashtirilib, alomatni maqsadga muvofiq tanlashga xizmat qiluvchi jadval shakllantiriladi. Taklif etilgan metodik model to‘rt o‘zaro bog‘langan bosqichga asoslanadi: qator umumiy hadining strukturasini aniqlash, ushbu strukturaga mos yaqinlashuv alomatini asosli ravishda tanlash, tanlangan alomatning qo‘llanish shartlarini tekshirish hamda olingan xulosani boshqa alomat yoki qarshi misol yordamida nazorat qilish. Bunday tashkil etish talabani faqat hisoblash amallarini bajarishga emas, balki qaysi alomatni nima sababdan tanlash, uning qo‘llanish chegaralarini tushuntirish va chiqarilgan matematik xulosani asoslashga yo‘naltiradi. Natijada sonli qatorlar mavzusini o‘qitishda protseduraviy yondashuvdan strukturaviy tahlil, ongli tanlov va matematik argumentatsiyaga asoslangan faoliyatga o‘tish uchun metodik asos yaratiladi.

Аннотация

В статье рассматривается проблема совершенствования методики изучения и преподавания сходимости числовых рядов в высших учебных заведениях. В предлагаемом подходе приоритет отдаётся не последовательному применению признаков сходимости в качестве готовых алгоритмов, а выбору соответствующего метода исследования на основе анализа математической структуры общего члена ряда. С этой точки зрения систематизированы наиболее часто встречающиеся у студентов методические ошибки и выделены три их основных вида. Первый связан с ошибочной интерпретацией стремления общего члена ряда к нулю как достаточного условия сходимости; второй — с необоснованным выводом о расходимости ряда в случае, когда применённый признак даёт предельный или неопределённый результат; третий — с неправильным использованием направления неравенств и логики вывода при применении признака сравнения. Для раскрытия математической сущности указанных ситуаций предлагается методика использования системы контрпримеров, основанной на гармоническом и -рядах, рядах с рациональными и логарифмическими членами, а также знакочередующихся рядах. Систематизируется взаимосвязь между алгебраическими и функциональными особенностями общего члена ряда и соответствующим признаком сходимости, на основе чего формируется таблица, позволяющая осуществлять обоснованный выбор необходимого признака. Предлагаемая методическая модель основывается на четырёх взаимосвязанных этапах: определении структуры общего члена ряда, обоснованном выборе соответствующего этой структуре признака сходимости, проверке условий применимости выбранного признака и контроле полученного вывода с помощью альтернативного признака или контрпримера. Такая организация учебной деятельности ориентирует студента не только на выполнение вычислительных операций, но и на понимание того, какой признак и по какой причине следует выбрать, каковы границы его применимости и каким образом необходимо обосновать полученный математический вывод. В результате создаётся методическая основа для перехода при изучении темы числовых рядов от процедурного подхода к деятельности, основанной на структурном анализе, осознанном выборе метода и математической аргументации.

Abstract

This article addresses the improvement of methods for teaching and learning the convergence of numerical series in higher education. The proposed approach prioritizes the selection of an appropriate convergence test based on an analysis of the mathematical structure of the general term of a series, rather than the mechanical sequential application of convergence tests as ready-made algorithms. From this perspective, the most common methodological errors made by students are systematized and classified into three main types. The first is the incorrect interpretation of the condition that the general term tends to zero as a sufficient condition for convergence; the second is the unjustified conclusion that a series diverges when the applied test yields an inconclusive or indeterminate result; and the third is the incorrect use of inequalities and logical reasoning when applying the comparison test. To clarify the mathematical nature of these issues, a methodology based on a system of counterexamples involving the harmonic series, -series, series with rational and logarithmic terms, as well as alternating series, is proposed. The relationship between the algebraic and functional properties of the general term and the corresponding convergence test is systematized, and a table is developed to facilitate the reasoned selection of an appropriate convergence test. The proposed methodological model consists of four interrelated stages: identifying the structure of the general term of the series, selecting an appropriate convergence test on the basis of this structure, verifying the conditions under which the selected test is applicable, and validating the obtained conclusion using an alternative test or a counterexample. Such an organization of the learning process encourages students not only to perform computational procedures but also to understand which convergence test should be selected and why, to recognize the limits of its applicability, and to provide a mathematically justified conclusion. As a result, the proposed approach provides a methodological basis for shifting the teaching of numerical series from procedural computation toward structural analysis, informed selection of methods, and mathematically grounded argumentation.

Kalit so'zlar: sonli qatorlar, yaqinlashish va uzoqlashish, yaqinlashuv mezonlari, qator hadining strukturaviy tahlili, qarshi misol, garmonik qator, -qator, taqqoslash usuli, Dalamber alomati, Koshi alomati, shartli yaqinlashuv, matematik argumentatsiya

Foydalanilgan adabiyotlar

  1. Genç M., Akıncı M. Errors in Using Convergence Tests in Infinite Series // Acta Didactica Napocensia. – 2020. – Vol. 13, №2. – P. 113–127. DOI: 10.24193/adn.13.2.8.
  2. González-Martín A.S., Nardi E., Biza I. Conceptually driven and visually rich tasks in texts and teaching practice: the case of infinite series // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. – 2011. – Vol. 42, №5. – P. 565–589. DOI: 10.1080/0020739X.2011.562310.
  3. Heon N., Mills M. Comparing the Textbook with Professors’ Intended and Enacted Potential Intellectual Need for Infinite Series in Calculus II // Investigations in Mathematics Learning. – 2023. – Vol. 15, №3. – P. 169–185. DOI: 10.1080/19477503.2023.2169490.
  4. Buchbinder O., McCrone S. Preparing prospective secondary teachers to teach mathematical reasoning and proof: the case of the role of examples in proving // ZDM – Mathematics Education. – 2023. – Vol. 55. – P. 779–792. DOI: 10.1007/s11858-023-01493-4.
  5. Stylianides G.J., Stylianides A.J., Moutsios-Rentzos A. Proof and proving in school and university mathematics education research: a systematic review // ZDM – Mathematics Education. – 2024. – Vol. 56. – P. 47–59. DOI: 10.1007/s11858-023-01518-y.
  6. Rayskin V. A connection between tests for absolute convergence of infinite series, or how to be fair // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. – 2025. – Vol. 56, №11. – P. 2324–2332. DOI: 10.1080/0020739X.2024.2393266.
  7. Behruz Ulug‘bek o‘g, Q. (2024). EYLER INTEGRALLARI VA MITTAG-LEFFLER FUNKSIYASINING ZAMONAVIY FIZIKA VA MATEMATIKADAGI ROLI. Международный журнал научных исследователей, 9(1), 96-100.
  8. Behruz Ulug‘bek o‘g, Q. (2025). CHIZIQLI ALGEBRA VA SPLAYNLAR: CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARI VA MATRITSALAR ASOSIDA SPLAYN HOSIL QILISH. ИКРО журнал, 15(01), 773-776.
  9. Behruz Ulug‘bek o‘g, Q. (2025). MATEMATIK YAQQOLLIK VA FUNKSIYA YAQINLASHTIRISH. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI, 3(2), 190-193.
  10. Behruz Ulug‘bek o‘g, Q. (2025). SPLINE INTERPOLYATSIYASI. PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI, 3(1), 355-359.