9-tom, 1-son, b. 200–203, Nashr: 2026-09-13

KASR TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI O‘QITISHDA MATEMATIK MODELLASHTIRISH VA VIZUALLASHTIRISH USULLARIDAN FOYDALANISH

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРИ ОБУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

USING MATHEMATICAL MODELING AND VISUALIZATION METHODS IN TEACHING FRACTIONAL-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS

• Ramazonova Sh.Sh — Osiyo Xalqaro universiteti, stajyor-o’qituvchi

To'liq matn (PDF)

Annotatsiya

Zamonaviy oliy ta’lim tizimida murakkab matematik tushunchalarni talabalarga mazmunan chuqur, mantiqan izchil va amaliy jihatdan tushunarli tarzda yetkazish muhim metodik vazifalardan biri hisoblanadi. Xususan, kasr tartibli differensial tenglamalar klassik differensial tenglamalarga nisbatan murakkab matematik tuzilishga ega bo‘lib, ularni o‘rganishda talabalardan abstrakt tafakkur, funksional bog‘lanishlarni tahlil qilish, matematik model qurish va olingan natijalarni geometrik hamda fizik mazmunda talqin eta olish ko‘nikmalari talab etiladi. Kasr tartibli hosila tushunchasining integral operatorlar bilan uzviy bog‘liqligi, yechimlarning vaqt va fazoga nisbatan o‘ziga xos xatti-harakati hamda xotira effektining mavjudligi mazkur mavzuni an’anaviy bayon qilish usullari bilangina samarali o‘zlashtirishni qiyinlashtiradi. Shu sababli kasr tartibli differensial tenglamalarni o‘qitishda matematik modellashtirish, grafik tasvirlash, dinamik vizuallashtirish va kompyuter vositalaridan foydalanish alohida metodik ahamiyat kasb etadi.

Аннотация

В современной системе высшего образования одной из важных методических задач является содержательно глубокое, логически последовательное и практически понятное изложение студентам сложных математических понятий. В частности, дробные дифференциальные уравнения имеют более сложную математическую структуру по сравнению с классическими дифференциальными уравнениями, и их изучение требует от студентов абстрактного мышления, умения анализировать функциональные зависимости, строить математические модели, а также интерпретировать полученные результаты с геометрической и физической точек зрения. Тесная связь понятия дробной производной с интегральными операторами, специфическое поведение решений во времени и пространстве, а также наличие эффекта памяти затрудняют эффективное освоение данной темы исключительно посредством традиционных методов изложения. В связи с этим использование математического моделирования, графического представления, динамической визуализации и компьютерных средств при обучении дробным дифференциальным уравнениям приобретает особое методическое значение.

Abstract

In the modern system of higher education, one of the important methodological tasks is to present complex mathematical concepts to students in a meaningful, logically consistent, and practically understandable way. In particular, fractional differential equations have a more complex mathematical structure compared with classical differential equations, and their study requires students to develop abstract thinking, analyze functional relationships, construct mathematical models, and interpret the obtained results from geometric and physical perspectives. The close relationship between the concept of a fractional derivative and integral operators, the specific behavior of solutions with respect to time and space, as well as the presence of the memory effect, make it difficult to master this topic effectively using only traditional methods of presentation. Therefore, the use of mathematical modeling, graphical representation, dynamic visualization, and computer-based tools in teaching fractional differential equations is of particular methodological importance.

Kalit so'zlar: kasr tartibli differensial tenglama, kasr tartibli hosila, matematik modellashtirish, vizuallashtirish, Caputo hosilasi, Riman–Liuvill hosilasi, matematik model, grafik interpretatsiya, raqamli texnologiyalar, matematik tafakkur

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Podlubny I. Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Academic Press, 1999.
2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, 2006.
3. Diethelm K. The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. Springer, 2010.
4. Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press, London, 2010.
5. Caputo M. Linear Models of Dissipation whose Q is almost Frequency Independent-II // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. – 1967. – Vol. 13, No. 5. – P. 529–539.
6. Metzler R., Klafter J. The Random Walk’s Guide to Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamics Approach // Physics Reports. – 2000. – Vol. 339, No. 1. – P. 1–77.
7. Garrappa R. Numerical Evaluation of Two and Three Parameter Mittag-Leffler Functions // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 2015. – Vol. 53, No. 3. – P. 1350–1369.
8. Blum W., Galbraith P.L., Henn H.-W., Niss M. (Eds.). Modelling and Applications in Mathematics Education: The 14th ICMI Study. Springer, 2007.
9. Arcavi A. The Role of Visual Representations in the Learning of Mathematics // Educational Studies in Mathematics. – 2003. – Vol. 52, No. 3. – P. 215–241.